Teoria da relatividade e a Física

segunda-feira, 23 de dezembro de 2013

Física atômica

Física atômica (português brasileiro) ou física atómica (português europeu) é o ramo da física que estuda as camadas eletrônicas dosátomos, um conjunto de orbitais em um átomo, no qual se encontram os elétrons.

O volume do átomo é determinado pelos elétrons. Como alguns desses átomos são mais facilmente removíveis que outros, isso nos leva a concluir que alguns elétrons estão mais próximos do núcleo do que outros.

A medida que se aproxima do núcleo, a energia potencial do elétron, devido a atração pelo núcleo, diminui, enquanto sua velocidade e, consequentemente, sua energia cinética aumentam (tal como a velocidade de um satélite aumenta, ao se aproximar da Terra). De um modo geral, a energia total do elétron aumenta a medida que o elétron se afasta do núcleo.

Diagrama de Linus Pauling

Grande parte das pessoas associa o termo física atômica com força nuclear e bomba nuclear, devido aos sinônimos (sinónimos) deatômico e nuclear. Entretanto, há diferença entre a física atômica e a física nuclear. Enquanto a primeira ocupa-se do estudo do átomocomo um conjunto elétron-núcleo, a segunda estuda apenas o núcleo, suas propriedades e as reações nucleares, tais como a fissão, fusão e decomposição nuclear.

Mediante estudos de espectroscopia, o cientista pode determinar quantos níveis de energia existem nos átomos. De fato, quando um elétron adquire energia, ele se move de um nível de energia para outro, mais afastado do núcleo (nível de maior conteúdo de energia). Perdendo essa energia adquirida, o elétron a devolve em forma de radiação luminosa, cuja freqüência pode ser perfeitamente determinada, pois a cor da radiação depende da freqüência.

Nos átomos dos elementos químicos conhecidos, podem ocorrer 7 níveis de energia (contendo elétrons) representados, respectivamente, a partir do núcleo, pelas letras K, L, M, N, O, P,Q ou pelos números 1, 2, 3, 4, 5 , 6, 7. Estes números são números são chamados de números quânticos principais, representando aproximadamente a distância do elétron ao núcleo, assim como a energia do elétron.

O começo da física atômica é marcado pelo descobrimento e pelos estudos minuciosos da linhas espectrais. Estas são claramente definidas linhas no espectro luminoso dos átomos livres emissores de luz (o termo "livre" significa que eles são um gás ou vapor e portanto não estão próximos ou interagindo com outros átomos.

Uma das contribuições seminais para a atomística moderna foi dada por Einstein ao estudar o chamado movimento browniano. Este é o movimento de zig-zag observado em pequenos corpos colocados em suspensão, como os grãos de pólen etc. Einstein explicou que esse movimento era devido aos pequenos empurrões que essas partículas recebem devido ao fato do líquido ser constituído de moléculas em constante movimento. Corpos muito grandes não sofrem esse movimento pois sofrem tantos empurrões, em tantas direções, cuja média vai a zero.

Investigou também a interação da luz com a matéria, e descobriu as leis fundamentais da troca de energia-campo de radiação-matéria. Estes estudos formariam as bases da moderna espectroscopia atômica.

As análises de Einstein da interação da radiação com os átomos mostrava a ocorrência da chamada emissão estimulada de radiação, fenômeno fundamental para o surgimento do laser.

Ao longo de sua carreira, Einstein realizou inúmeras contribuições para a física atômica, mas seu trabalho combinado com outro físico N. Bose, é que foi de extrema relevância para criar as novas perspectivas para a física atômica. A chamada condensação de Bose-Einstein, relevante para vários campos da ciências. A condensação de Bose-Einstein, ainda é muito nova do ponto de vista experimental para que possamos saber que novas super-propriedades ela deverá nos revelar. Por essa razão, esse tópico é um dos mais importantes para os próximos anos e sem dúvida constituiu-se numa das maiores perspectivas de avanços para o campo da física atômica. Outro campo de grande perspectiva é o de entender como esses átomos, nesse regime quântico, interagem formando moléculas.

Cada vez mais o poder da ciência em dominar e controlar a espécie atômica determina seu próprio avanço

Física nuclear

Física Nuclear é a área da física que estuda os constituintes e interações dos núcleos atômicos. As aplicações mais conhecidas da física nuclear são a geração de energia nuclear e tecnologia de armas nucleares, mas a investigação tem proporcionado aplicação em muitos campos, incluindo aqueles em medicina nuclear e ressonância magnética, implantação de íons em engenharia de materiais, edatação por radiocarbono em geologia e arqueologia.

O campo da física de partículas evoluiu a partir da física nuclear e, normalmente, é ensinado em estreita associação com a física nuclear.

Índice

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História[editar | editar código-fonte]

Descoberta do elétron[editar | editar código-fonte]

A história da física nuclear como uma disciplina distinta da física atômica começa com a descoberta da radioatividade por Henri Becquerel em 1896,1 enquanto investigava fosforescência em sais de urânio.2 A descoberta do electrão por J. J. Thomson um ano mais tarde, foi uma indicação de que o átomo tinha estrutura interna. Na virada do século XX, o modelo aceito do átomo era o modelo de pudim de ameixas de J. J. Thomson de que o átomo era uma grande bola carregada positivamente com pequenos elétrons carregados negativamente embutidos dentro dele. Na virada do século, os físicos também tinham descoberto três tipos de radiaçãoque emana de átomos, que deram o nome de alfa, beta e radiação gama.

Esta área da ciência teve início a partir da evolução do conceito científico a cerca da estrutura atômica, pois até meados do século XIX acreditáva-se que os átomos eram esferas maciças indestrutíveis e indivisíveis. Esses conceitos estavam de acordo com a teoria atômica de John Dalton.

Descoberta do próton[editar | editar código-fonte]

O início do século XX foi marcado por diversas e incríveis descobertas. Por isso, não se sabe ao certo quem descobriu o próton. A descoberta é geralmente atribuída a Rutherford, que foi também quem deu esse nome ao então conhecido núcleo do átomo de hidrogênio. Em 1919, Rutherford e seus colaboradores realizaram o sonho dos alquimistas e conseguiram experimentalmente, pela primeira vez na história, transmutar um elemento em outro.3

O experimento consistia em bombardear o gás nitrogênio com partículas alfa altamente energizadas. Como resultado, alguns núcleos de hidrogênio eram detectados, e Rutherford estava certo que eles somente poderiam ser provenientes dos núcleos dos átomos de nitrogênio. Nesse processo, o que ocorreu é que o nitrogênio era transmutado em oxigênio, através de uma reação nuclear.Então, o núcleo do nitrogênio continha núcleos de hidrogênio! Como o hidrogênio era o elemento de menor massa, Rutherford concluiu que se tratava de uma partícula elementar dos núcleos de todos os átomos: o núcleo atômico possui uma estrutura, é formado por prótons!

Entretanto, duas questões importantíssimas estavam em aberto:

1. O número de prótons em um núcleo é insuficiente para justificar sua massa. De onde viria o restante da massa?

2. Cargas de sinais opostos se atraem. Cargas de mesmo sinal se repelem. Como é possível os prótons ficarem juntos em um espaço tão pequeno como o núcleo? De acordo com a Lei de Coulomb, a força de repulsão seria descomunal.

Descoberta do nêutron[editar | editar código-fonte]

Quando Rutherford descobriu que o número de prótons em um núcleo suficientes para justificar sua carga não era suficiente para justificar sua massa, imediatamente sugeriu a existência de outras partículas, eletricamente neutras, no núcleo.

Rutherford atribuiu a seu aluno James Chadwick (1891 – 1974) a tarefa de descobrir essa partícula. Em 1932 (13 anos depois da descoberta do próton), Chadwick finalmente conseguiu detectar o nêutron através do seguinte experimento:

Em 1930, descobriu-se que bombardeando Berílio com radiação alfa, era emitida outra radiação extremamente penetrante e sem carga elétrica, semelhante à radiação gama. Posteriormente, foi descoberto que incidindo esse novo tipo de radiação em uma substânciarica em hidrogênio (como a parafina), prótons eram emitidos.3

Em 1932, Chadwick, com seus estudos quantitativos desse e de outros experimentos, concluiu que a radiação emitida pelo Berílio era na verdade um feixe de partículas neutras com massa quase igual à do próton: Chadwick descobriu o nêutron!

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Para extrair um elétron de um átomo, é necessária uma certa quantidade de energia. Da mesma forma, cada núcleo (próton ou nêutron) necessita também de grande quantidade de energia, que é da ordem de milhões de vezes. Por esse motivo, a física nuclear é denominada física de alta energia.3

A física nuclear tem como objeto de estudo o núcleo atômico e suas propriedades. Os núcleos possuem propriedades que podem ser classificadas como estáticas (carga, tamanho, forma, massa, energia de ligação, spin, paridade, momentos eletromagnéticos, etc.) e dinâmicas (radioatividade, estados excitados, reações nucleares, etc.)

Estas propriedades são analisadas através de modelos nucleares que são baseados na mecânica quântica, relatividade e teoria quântica de campos. A descoberta de que os nucleons (protons e neutrons) são na realidade sistemas compostos, redirecionou o interesse dos físicos nucleares para a investigação dos graus de liberdade de quarks e, com isto, atualmente os domínios da pesquisa da física nuclear e da física de partículas se tornaram interligados.3

Observações

O modelo de Rutherford, aliado à descoberta do próton, nêutron e elétron, permitiu o entendimento e a classificação das substâncias através de dois números:

- Número atômico Z: é o número de prótons de um átomo - Número de massa A: é o número de prótons + o número de nêutrons de um átomo Além da carga q do elemento, no caso de ser um íon.

Hoje, representa-se um átomo ou íon através da seguinte notação:

$^{A}_{Z}X^q$

Visão Geral[editar | editar código-fonte]

É agora sabido que o núcleo atômico é composto de protões e neutrões conhecidos como núcleos. O número de protões e neutrões no núcleo é o seu número de massa (A) e o número de protões é o seu número atômico (Z).4 O núcleo de símbolo químico X é unicamente designado por:

$^{A}_{Z}X$

O núcleo atômico possui algumas propriedades de interesse:

Tamanho do núcleo: Em geral os núcleos atômicos possuem forma esférica com o raio dado, aproximadamente, por:

$R = R_{O}.A^{\frac{1}{3}}$ onde $R_{O} = 1,2 \pm 0,2 fm$

Carga – A distribuição da carga eléctrica dentro do núcleo é a mesma que a distribuição da massa nuclear. Resultados experimentais sugerem que ´´o raio eléctrico do núcleo´´ e ´´núcleo da matéria nuclear´´ são aproximadamente iguais.

Spin nuclear: para cada momento angular orbital do núcleo l e

spin s combinam para formar o momento angular total j. O momento angular total do núcleo I é, portanto, o vector soma dos momentos angulares do núcleo:

$\vec{j} = \vec{l} + \vec{s} \qquad \vec{I} = \sum_{i=l}^{A}\vec{j}_{i}$ tal que $\begin{cases} A \;\text{ímpar} : I\; \text{semi-inteiro} \\ A \;\text{pár} : I\; \text{inteiro}\end{cases}$

Momento angular: O momento angular I possui todas as propriedades usuais do vector momento angular da Mecânica Quântica:

$\vec{I}^2 = \hbar^{2} .l.(l + 1)$

$I_{\textbf z} = m.\hbar \qquad \quad m=-l,-l+1,\ldots,l-1,l$

O momento angular total I é usualmente referido como spin

nuclear e o correspondente número quântico de spin l é usado para descrever estados nucleares.

Estabilidade nuclear é relacionada ao número de nucleos que constituem o núcleo. Núcleos estáveis apenas ocorrem numa banda estreita no plano Z-N.

Todos os outros núcleos são instáveis e desintegram-se espontaneamente em vários modos.

Existem três modelos de núcleos atômicos: o Modelo da gota líquida, o Modelo do gás de fermi e o Modelo de camada. Cada modelo explica certas observações da propriedade nuclear. Nenhum modelo único explica todas as observações.4

Modelos Nucleares[editar | editar código-fonte]

Existem dois tipos básicos de modelos nucleares simples. Corpo colectivo sem estados de partículas individuais. A gota de líquido. Modelo que é a base da fórmula semi-empirica de massa. Modelo de partícula individual com o núcleo em estados de energia discretos, por exemplo o gás de Fermi ou modelo de camadas/capas (concha).

Glossário[editar | editar código-fonte]

Terminologia Nuclear[editar | editar código-fonte]

1 . Terminologia Nuclear: Existem diversos termos usados no campo da Física Nuclear que se deve compreender,

a. Nucleão ou Núcleo: Neutrões (Nêutrons) e protões (prótons) são encontrados no núcleo dum átomo e por essa razão são chamados colectivamente de nucleões. Um nucleão é definido como sendo uma partícula constituinte do núcleo, tanto um neutrão ou um protão.

b. Nuclídeo – Uma espécie de átomo caracterizada pela constituição do seu núcleo, o qual é especificado pelo sua massa atómica e o seu número atómico (Z), ou pelo seu número de protões (Z), número de neutrões (N), e conteúdo de energia. Uma listagem de todos os nuclídeos pode ser encontrada no ´´gráfico dos nuclídeos´´ a qual será apresentada numa lição mais tarde.

c. Isótopos – Isótopos são definidos como nuclídeos que têm o mesmo número de protões mas diferentes números de neutrões. Portanto, quaisquer nuclídeos que têm o mesmo número atómico (isto é, o mesmo elemento) massa diferentes números de massa são isótopos. Por exemplo, hidrogénio possui três isótopos, conhecidos como, Prótio, Deutério, Trítio. Dado que hidrogénio possui um protão, qualquer átomo de hidrogénio terá número atómico igual a 1. Contudo, números de massa atómica dos três isótopos são diferentes. Prótio (H – 1) tem número de massa 1 (um protão, sem neutrões), Deutério (D ou H – 2) tem o número de massa igual a 2 (1 protão, 1 neutrão), e Trítio (T, H – 3) tem número de massa 3 (1 protão, 2 neutrões).

2. Defeito de massa e energia de ligação: A massa do átomo provém quase inteiramente do núcleo. Se o núcleo pudesse ser decomposto em suas partes constituintes, isto é, protões e neutrões, poderia se concluir que a massa total do átomo é menor do que a soma das massas dos protões e neutrões individuais. Esta diferença na massa é conhecida como de feito de massa $\Delta m$ , calculada para cada nuclídeo, usando a seguinte equação:

$\Delta m=ZM_{p}+ZM_{e}+(A-Z)M_{n}-M_{a}=ZM_{H}+(A-Z)M_{n}-M_{a}$

Onde $\Delta m$ é o defeito de massa,

$Z$ = número atómico,

$M_{p}$ = massa do protão (1.00728 uma),

$M_{n}$ = massa do neutrão (1,00867 uma);

$M_{e}$ = massa do electrão (0,000548 uma);

$A$ = número de massa;

$M_{a}$ = massa atómica (a partir do gráfico dos nuclídeos);

$M_{H}$ = massa do átomo de hidrogénio.

3. Energia de ligação: energia de ligação é a energia equivalente do defeito de massa, 1 uma = 931,478 MeV.

4. Energia de ligação por nucleão: Se a energia de ligação total do núcleo é dividida pelo número total de nucleões no núcleo, obtém-se a energia de ligação por nucleão. Esta representa a energia média que deve ser fornecida de modo a remover um nucleão a partir do núcleo.

5. Radioatividade (decaimento radioativo): a decomposição espontânea do núcleo para formar um núcleo diferente.

6. Marcação de data a partir de Radiocarbono (Obtensão de data a partir do Carbono – 14): um método para a marcação da idade madeira antiga ou roupa antiga na base do decaimento radiotivo do nuclídeo C – 14.

7. Traçador radioativo – um nuclídeo radioativo, introduzido no organismo para propósitos de diagnóstico, cuja trajetória pode ser seguida através do monitoramento da sua radioatividade.

8. A parte principal do reator – é a parte do reator nuclear onde ocorrem as reações de fissão nuclear.

9. REM (roentgen equivalent for man - equivalente Roentgen para o Homem) – uma unidade de dosagem de radiação que inclui ambos a energia da dose e a sua efetividade em causar danos biológicos.

10. Ressonância – uma condição que ocorre quando mais de uma estrutura válida de Lewis pode ser escrita para uma molécula particular. A estrutura electrónica verdadeira é representada, não por qualquer uma das estruturas de Lewis, mas pela média de todos eles.

11. Fissão nuclear : a cisão ou divisão de núcleos pesados em pelo menos dois núcleos pequenos, acompanhado da libertação de energia é chamado de fissão nuclear.

12. Fusão nuclear – fusão é a reação entre núcleos que pode ser uma fonte de energia. Fusão é o ato de combinar ou ´´fundir´´ dois ou mais núcleos atómicos. Assim, a fusão constrói átomos. Fusão ocorre de foma natural no Sol e é a fonte da sua energia.

Símbolos e Equações[editar | editar código-fonte]

Grandeza	Símbolo	Equação	Unidades SI	Dimensão
Número de átomos	N = Número de átomos restantes no tempo t N0 = Número inicial de átomos no momento t ND = Número de átomos decaídos no momento t	$N_0 = N + N_D \,\!$	adimensional	adimensional
Taxa de decaimento, atividade do radioisótopo	A	$A = \mathrm{d} N /\mathrm{d} t \,\!$	Bq = Hz = s−1	[T]−1
Constante de decaimento	λ	$\lambda = A/N \,\!$	Bq = Hz = s−1	[T]−1
Meia-vida de um radioisótopo	t1/2, T1/2	Tempo necessário para metade do número de átomos presentes ao decaimento $t \rightarrow t + T_{1/2} \,\!$ $N \rightarrow N / 2 \,\!$	s	[T]
Número de meias-vidas	n (nenhum símbolo padrão)	$n = t / T_{1/2} \,\!$	adimensional	adimensional
Radioisótopo tempo constante, tempo de vida médio de um átomo antes do decaimento	τ (nenhum símbolo padrão)	$\tau = 1 / \lambda \,\!$	s	[T]
Dose absorvida, dose total ionizante (energia total da radiação transferida para unidade de massa)	D só pode ser encontrado experimentalmente	N/A	Sv = J kg−1(Sievert)	[L]2[T]−2
Dose equivalente	H	$H = DQ \,\!$ Q = fator de qualidade da radiação (adimensional)	Sv = J kg−1(Sievert)	[L]2[T]−2
Dose eficaz	E	$E = \sum_j H_jW_j \,\!$ Wj = fatores de ponderação correspondentes a radiossensibilidade da matéria (adimensional) $\sum_j W_j = 1 \,\!$	Sv = J kg−1(Sievert)	[L]2[T]−2

Situação física	Nomenclatura	Equações
Número de massa	A = (Relativa) de massa atômica = Número de massa = Número de prótons e nêutrons N = Número de nêutrons Z = Número atômico = número de prótons = número de elétrons	$A = Z+N\,\!$
Massa no núcleo	M'nuc = Massa do núcleo, núcleos compelidos MΣ = Soma das massas de núcleos isolados mp = Massa de repouso do próton mn = Massa de repouso de nêutrons	$M_\Sigma = Zm_p + Nm_n \,\!$ $M_\Sigma > M_N \,\!$ $\Delta M = M_\Sigma - M_\mathrm{nuc} \,\!$ $\Delta E = \Delta M c^2\,\!$
Raio nuclear	r0 ≈ 1.2 fm	$r=r_0A^{1/3} \,\!$ portanto, (aproximadamente) o volume nuclear ∝ A superfície nuclear ∝ A2/3
Energia de ligação nuclear, parâmetro empírico	Parâmetros adimensionais para experimentação: EB = Energia de ligação, av = coeficiente de volume nuclear, as = coeficiente de superfície nuclear, ac = coeficiente de interação eletrostática, aa = simetria / assimetria para os números de nêutrons / prótons,	$\begin{align} E_B = & a_v A - a_s A^{2/3} - a_c Z(Z-1)A^{-1/3} \\ & -a_a (N-Z)^2 A^{-1} + 12\delta(N,Z)A^{-1/2} \\ \end{align}$ onde (devido ao emparelhamento dos núcleos) δ(N, Z) = +1 pár N , pár Z, δ(N, Z) = −1 ímpar N , ímpar Z, δ(N, Z) = 0 ímpar A

Leis de Kepler

As leis de Kepler são as três leis do movimento planetário definidas por Johannes Kepler(1571 – 1630), um matemático e astrônomo alemão. Essas leis foram a principal contribuição de Kepler à astronomia e astrofísica.

Kepler estudou as observações do lendário astrônomo Tycho Brahe, e descobriu, por volta de1605, que estas observações seguiam três leis matemáticas relativamente simples. Suas três leis do movimento planetário desafiavam a astronomia e física de Aristóteles e Ptolomeu.1 Sua afirmação de que a Terra se movia, seu uso de elipses em vez de epiciclos, e sua prova de que as velocidades dos planetas variavam, mudaram a astronomia e a física.

Em 1596, Kepler publicou Mysterium Cosmographicum, onde expôs argumentos favoráveis às hipóteses heliocêntricas. Em 1609 publicou Astronomia Nova… De Motibus Stellae Martis, onde apresentou as três leis do movimento dos planetas, que hoje levam seu nome:1

Os planetas descrevem órbitas elípticas, com o sol num dos focos.
O raio vetor que liga um planeta ao Sol descreve áreas iguais em tempos iguais. (lei das áreas)
Os quadrados dos períodos de revolucão (T) são proporcionais aos cubos das distâncias médias (a) do Sol aos planetas. $T^2=ka^3$ , onde k é uma constante de proporcionalidade.

O modelo de Kepler é heliocêntrico. Seu modelo foi muito criticado pela falta de simetria decorrente do fato do Sol ocupar um dos focos da elipse e o outro simplesmente ser preenchido com o vácuo.

Índice

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Primeira lei de Kepler: lei das órbitas elípticas[editar | editar código-fonte]

"O planeta em órbita em torno do Sol descreve uma elipse em que o Solocupa um dos focos".

Esta lei definiu que as órbitas não eram circunferências, como se supunha até então, mas sim elipses.

A distância de um dos focos (F1) até o objeto, mais a distância do objeto até o outro foco (F2), é sempre igual não importando a localização do objeto ao longo da elipse.

Segunda lei de Kepler: lei das áreas[editar | editar código-fonte]

Ilustração da segunda lei de Kepler

"A linha que liga o planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais".

Esta lei determina que os planetas se movem com velocidadesdiferentes, dependendo da distância a que estão do Sol.

Periélio é o ponto mais próximo do Sol, onde o planeta orbita mais rapidamente.
Afélio é o ponto mais afastado do Sol, onde o planeta move-se mais lentamente.

Terceira lei de Kepler: lei dos períodos[editar | editar código-fonte]

"Os quadrados dos períodos de translação dos planetas são proporcionais aos cubos dos semi-eixos maiores de suas órbitas".

Ou seja, sendo T o período de revolução (ano do planeta) e D o semi-eixo maior da órbita de um planeta, tem-se:

$\frac{T^2}{D^3}=k$ , com k constante.

Esta lei indica que existe uma relação entre a distância do planeta e o período de translação (tempo que ele demora para completar uma revolução em torno do Sol). Portanto, quanto mais distante estiver do Sol mais tempo levará para completar sua volta em torno desta estrela.

Descobertas posteriores[editar | editar código-fonte]

A explicação física do comportamento dos planetas veio somente um século depois, quando Isaac Newton foi capaz de deduzir as leis de Kepler a partir das hoje conhecidas como leis de Newton e de sua lei da gravitação universal, usando sua invenção do cálculo. É possível notar, de suas leis, que outros modelos de gravitação dariam resultados empíricos falsos.1

Em 1687, Newton publicou os Principia, onde explica as forças que agem sobre os planetas devido à presença do Sol:

"Da primeira lei de Kepler que a força que age constantemente sobre o planeta tem sua linha de ação passando pelo Sol, para o qual é dirigida. Portanto o Sol tudo atrai. Da segunda que essa força é também inversamente proporcional ao quadrado da distância entre o Sol e o planeta. Ou seja, que quanto mais perto o planeta está maior é a força de atração do Sol. E da terceira que devido ao Sol, a força que age constantemente sobre o planeta, além de ser central, estar dirigida para o Sol e ser inversamente proporcional ao quadrado da distância, é diretamente proporcional à massa do planeta. O coeficiente de proporcionalidade não depende do planeta."

Derivação das leis de Kepler[editar | editar código-fonte]

Com a Teoria da Gravitação Universal de Isaac Newton, foi possível postular um único princípio:

$\vec F = -G \frac{Mm}{r^2} \hat{r}$

que, aliado às Três Leis de Newton, foi capaz de explicar completamente as observações astronômicas conhecidas até a época e ainda depois, até a descoberta de que a velocidade da luz no vácuo é constante para todos os referenciais. Essa descoberta levou à criação da teoria da relatividade restrita e, consequentemente, da teoria da relatividade geral, que, para certos fenômenos que até então não haviam sido observados, invalida a teoria de Newton da gravitação.

No entanto, as leis de Newton e a sua teoria da gravidade são mais do que o suficiente para explicar as leis de Kepler. De fato, as três leis são deriváveis da simples equação postulada acima, de modo que ainda aparecem mais completas do que da forma descrita por Kepler.

Para derivá-las, é preciso introduzir alguns conceitos.

$\dot x$ representa a derivada temporal de x, enquanto $\ddot x$ é a derivada temporal segunda de x.

$\hat{r}$ é o vetor unitário que indica a direção do planeta em relação à sua estrela. A derivada temporal desse vetor, que representaremos como $\dot {\hat{r}}$ é igual a $\dot {\theta}. \hat{\theta}$ , onde $\dot {\theta}$ é a velocidade angular do planeta em relação à estrela, e $\hat{\theta}$ é um vetor unitário perpendicular a $\hat{r}$ . Existem duas direções possíveis de um vetor unitário perpendicular a outro, mas a direção deste é escolhida de modo que $\hat{r}$ tivesse que virar no sentido anti-horário para apontar na mesma direção dele. A derivada de $\hat{\theta}$ , por sua vez, é $- \dot {\theta}. \hat{r}$ .

O vetor $\vec r$ é o vetor-posição do planeta em relação à sua estrela, e é definido como $\vec r = r \hat{r}$ , onde $r$ é o módulo da distância entre o planeta e a estrela. Assim, $\dot {\vec r} = \dot r \hat{r} + r \dot {\hat{r}}$ . Seguindo daí,

$\ddot {\vec r} = \ddot r \hat{r} + \dot r \dot {\hat r} + \dot r \dot {\theta} \hat{\theta} + r \ddot {\theta} \hat{\theta} + r \dot {\theta} \dot {\hat{\theta}}$

$\ddot {\vec r} = \ddot r \hat{r} + \dot r \dot {\theta} \hat{\theta} + \dot r \dot {\theta} \hat{\theta} + r \ddot {\theta} \hat{\theta} - r \dot {\theta}\dot {\theta} \hat{r}$ .

Organizando, temos, $\ddot {\vec r} = (\ddot r - r \dot \theta ^2) \hat r + (r\ddot \theta + 2 \dot r \dot \theta) \hat {\theta}$

Isso será usado na derivação das leis, que vem a seguir:

Primeira lei de Kepler[editar | editar código-fonte]

Em primeiro lugar, consideramos o planeta como sendo uma partícula (o que se justifica com boa aproximação para o fim das leis de kepler, já que o tamanho dos planetas do sistema solar são desprezíveis em comparação com a sua distância ao sol). Então, usamos a teoria da gravitação universal:

$\vec F = -G \frac{Mm}{r^2} \hat{r}$

Supondo que a massa do planeta é constante, (o que está de acordo com os sistemas observados por kepler), usamos a primeira lei de Newton.

$m \ddot {\vec r} = -G \frac{Mm}{r^2} \hat{r}$

$\ddot {\vec r} = -G \frac{M}{r^2} \hat{r}$

$(\ddot r - r \dot \theta ^2) \hat r + (r\ddot \theta + 2 \dot r \dot \theta) \hat {\theta} = G \frac{M}{r^2} \hat{r}$

Assim,

$\ddot r - r \dot \theta ^2 = -G \frac{M}{r^2}$

$r \ddot \theta + 2 \dot r \dot \theta = 0$

Da última, podemos derivar a conservação do momento angular, multiplicando os dois membros por $mr$ :

$m r^2 \ddot \theta + 2mr \dot r \dot \theta = 0$

$\frac {d}{dt} [ m r^2 \dot{\theta} ] = 0$

$m r^2 \dot{\theta} = l$

onde $l$ é uma constante, que sabemos ser a magnitude do momento angular.

Podemos transformar derivadas temporais em derivadas em relação a $\theta$ , a partir da seguinte relação:

$\frac {d \theta}{dt} = \frac {l}{mr^2}$

Se tivermos a derivada de qualquer função X(t) em relação ao tempo, podemos usar a regra da cadeia:

$\frac {dX}{dt} = \frac {dX}{d\theta}\frac {d\theta}{dt}$

$\frac {dX}{dt} = \frac {l}{mr^2} \frac {dX}{d\theta}$

O que é de grande utilidade na equação diferencial:

$\ddot r - r \dot \theta ^2 = -G \frac{M}{r^2}$

$\frac {l}{mr^2} \frac {d}{d\theta } [\frac {l}{mr^2} \frac {dr}{d\theta }] - r \dot \theta ^2 = -G \frac{M}{r^2}$

$\frac {l}{mr^2} .\left(- 2\frac {l}{mr^3} (\frac {dr}{d\theta })^2 + \frac {l}{mr^2} \frac {d^2r}{d\theta ^2}\right) - r \dot \theta ^2 = -G \frac{M}{r^2}$

$- 2\frac {l^2}{m^2r^5} (\frac {dr}{d\theta})^2 + \frac {l^2}{m^2r^4} \frac {d^2r}{d\theta^2}- r \dot \theta ^2 = -G \frac{M}{r^2}$

É preciso aqui extrair do momento angular uma relação útil:

$l = mr^2 \dot {\theta}$

$\dot {\theta} = \frac {l}{mr^2}$

Substituindo na equação principal,

$- 2\frac {l^2}{m^2r^5} (\frac {dr}{d\theta})^2 + \frac {l^2}{m^2r^4} \frac {d^2r}{d\theta^2}- \frac {l^2}{m^2r^3} = G \frac{M}{r^2}$

Aqui, convém usar uma transformação de variável:

$u = r^-1$

$\frac {du}{d\theta} = - r^-2 \frac {dr}{d\theta}$

$\frac {d^2u}{d\theta^2} = 2r^-3 (\frac {dr}{d\theta})^2 -r^-2 \frac {d^2r}{d\theta^2}$

Utilizando-a na equação diferencial, a simplificamos significativamente.

$- \frac {l^2}{m^2r^2} \frac{d^2u}{d\theta ^2} - \frac {l^2}{m^2r^3} = - G \frac{M}{r^2}$

$- \frac {l^2}{m^2} \frac{d^2u}{d\theta ^2} - \frac {l^2}{m^2r} = - GM$

$\frac{d^2u}{d\theta ^2} + u = \frac{GMm^2}{l^2}$

A função que satisfaz à essa equação diferencial é:

$u = \frac{GMm^2}{l^2} + \epsilon cos ( \theta + {\theta}_{0})$

Ou seja,

$r = \frac{l^2}{GMm^2} \frac {1}{1 + \epsilon cos ( \theta + {\theta}_{0})}$

$\epsilon$ é uma constante arbitrária de integração, e pode ser obtido se for dada a posição do planeta em qualquer instante. Com $\epsilon$ menor do que 1, temos a equação de uma elipse escrita em coordenadas polares. Se $\epsilon$ for 0, a equação é a de um círculo.

Assim, derivamos a Primeira Lei de Kepler.

Segunda lei de Kepler[editar | editar código-fonte]

A segunda Lei de Kepler é bem mais simples de se derivar.

A área descrita pelo raio-vetor que liga o planeta à sua estrela durante um certo tempo é dada por

$\sum_{i}^{N} a_i$

Onde $a_i$ são as áreas pecorridas em frações desse tempo. Podemos fazer essas frações de tempo arbitrariamente pequenas, e consequentemente teremos um N cada vez maior. Nada se altera se fizermos o limite em que as frações de tempo tendem a 0, ou seja:

$A = \lim_{N \to \infty} \sum_{i}^{N} a_i$ .

Quando tomamos áreas $a_i$ menores, elas se aproximam arbitrariamente da área de um triângulo com base $\Delta r_i$ e altura $r_i$ , onde $r_i$ é a magnitude do raio vetor $\vec r_i$ que liga o planeta à sua estrela em algum instante dentro de um intervalo de tempo $[t,t+\Delta t]$ , e $\Delta r_i = |\vec r_i - \vec r_{i-1}|$ , com $\vec r_{i-1}$ sendo o análogo de $r_i$ em algum instante dentro do intervalo $[t-\Delta t,t]$ . Ou seja, $\Delta r_i$ é simplesmente a distância percorrida pelo planeta em um certo tempo.

Ou seja, as áreas $a_i$ se aproximam arbitrariamente de:

$\frac {r_i . \Delta r_i}{2}$

$\Delta r_i$ também pode se expressado como $v_i \Delta t$ , onde $v_i$ é a velocidade do planeta, em algum instante do mesmo intervalo de tempo de $r_i$ .

Quando N tende a infinito, $\Delta t$ tende a 0. Assim,

$\lim_{N \to \infty} \sum_{i}^{N} a_i = \lim_{N \to \infty} \sum_{i}^{N} \frac {r_i . v_i \Delta t}{2}$

O que constitui uma integral:

$A = \int_{0}^{t} \frac {rv}{2} dt$

ou, como $v = r \dot {\theta}$ ,

$A = \int_{0}^{t} \frac{r^2 \dot {\theta}}{2} dt$

$r^2 \dot {\theta}$ é o momento angular sobre a massa, o que nesse caso permanece sempre constante. Assim, a integral dá:

$A = \frac {l}{2m} t$

Como o momento angular é sempre o mesmo, são percorridas áreas iguais em tempos iguais. Temos a segunda Lei de Kepler

Terceira lei de Kepler[editar | editar código-fonte]

A terceira Lei de Kepler é mais sutil. Ela é escrita em função do raio médio, então devemos achar esse raio. Na equação do raio:

$r = \frac{l^2}{GMm^2} \frac {1}{1 + \epsilon \cos ( \theta + {\theta}_{0})}$

A única variável é o $\cos ( \theta + \theta_0)$ , de modo que o raio médio corresponde ao valor médio dessa variável. Esse valor corresponde a $\langle \cos(\theta+\theta_0)\rangle= \frac{1}{2\pi}\int^{2\pi}_{0} \cos(\theta + {\theta}_{0})d\theta=\frac{1}{2\pi}(\sin(2\pi+\theta)-\sin(\theta)) = 0$ . Assim, o raio médio correspondente é:

${r}_{med} = \frac{l^2}{GMm^2}$

Podemos pensar também na velocidade angular média, correspondente ao raio médio. Ambos estão ligados através do momento angular ( $l = m {\dot{\theta}_{med}} {r}_{med}^2$ ). Então

$l = m {\dot{\theta}_{med}} \frac{l^4}{G^2M^2m^4}$

${\dot{\theta}_{med}} = \frac { G^2M^2m^3}{l^3}$

Uma definição importante é a do período, em função da velocidade angular média:

$P = \frac {2\pi}{{\dot{\theta}}_{med}}$

A presença da velocidade angular média nessa equação é justificada pelo fato de que deve haver algum valor da velocidade angular, em algum instante, que satisfaça a essa equação. Esse valor é justamente o da velocidade angular média.

É possível demonstrar que o período de um planeta com órbita circular de raio ${r}_{med}$ e velocidade angular ${\dot{\theta}_{med}}$ é igual ao período de qualquer planeta com órbita elíptica de raio médio ${r}_{med}$ e velocidade angular média ${\dot{\theta}_{med}}$ . Isso é feito através da Segunda Lei de Kepler. A área total de um círculo é $\pi {r}_{med}^2$ , e a área total de uma elipse é, pela Segunda Lei, $\frac {l}{2m} P$ . Através da definição de $P$ acima, vemos:

$A = \frac {l}{2m} P$

$A = \frac {l\pi}{{m\dot{\theta}}_{med}}$

$A = \frac {l^4\pi}{ G^2M^2m^4}$

Lembrando a equação correspondente ao raio médio ( ${r}_{med} = \frac{l^2}{GMm^2}$ ), temos:

$A = {r}_{med}^2 \pi$

Que corresponde à área do círculo. Como, pela Segunda Lei, áreas iguais são percorridas em tempos iguais, então o período do planeta de órbita elíptica pode ser tomado a partir do período de uma órbita circular correspondente.

$P = \frac {2\pi}{{\dot{\theta}_{med}}}$

$P = \frac {2\pi l^3}{ G^2M^2m^3}$

$P = \frac {2\pi {r}_{med}^{\frac {3}{2}}}{\sqrt{GM}}$

$P^2 = \frac {4\pi^2 {r}_{med}^3}{GM}$

$\frac {P^2}{{r}_{med}^3} = \frac {4\pi^2}{GM}$

O que constitui a terceira lei de Kepler.

Teoria da relatividade e a Física